Moi j'ai une demo un peu bancale par recurrence, ca marche donc je pense que ca devrait etre bon
J'me lance, desole pour ceux qui connaissent pas la recurrence mais ca marche donc voila:
On pose x le nombre de depart (x appartient a [|10;99|]), a(x) le chiffre des dizaines de x, b(x) le chiffres des unités.
Si x=10, x-(a(x)+b(x)) = 10-(1+0) = 9 bien un multiple de 9.
Soit x appartenant a [|10;99|], l'application F qui a partir de x donne le chiffre voulu multiple de 9 => F(x) = x-(a(x)+b(x)) (je sais pas comment dire ca autrement ^^). On suppose qu'au rang x, F(x) est vérifié. On cherche a montrer que ca marche pour x+1
F(x) => multiple de 9, on peut alors ecrire F(x)= 9*n (n un entier naturel). on a F(x) = x-(a(x)+b(x)) on veut alors montrer que F(x+1) = (x+1)-(a(x+1)+b(x+1))
On distingue 2 cas:
- Si b(x)=9:
alors a(x+1) = a(x)+1 et b(x+1) = 0 = b(x)-9
donc a(x+1)+b(x+1)=a(x)+1
donc x+1-(a(x+1)+b(x+1)) = x+1-(a(x)+1+b(x)-9)
= x+9-(a(x)+b(x))
or x-(a(x)+b(x)) = 9n
donc on a x+1-(a(x+1)-b(x+1)) = 9n + 9
= 9(n+1)
donc F(x+1) multiple de 9.
- Si b(x) different de 9:
alors a(x+1) = a(x) et b(x+1) = b(x)+1
donc a(x+1)+b(x+1) = a(x)+b(x)+1
donc x+1-(a(x+1)+b(x+1) = x+1-(a(x)+b(x)+1)
= x-(a(x)+b(x))
Or on a x-(a(x)+b(x)) = 9n
donc dans ce cas aussi F(x+1) multiple de 9.
Vala on a montré l'implication, par le principe de récurrence F(x) vraie pour tout x dans [|10;99|].
J'espere ne pas avoir fait de faute ^^